Matematicas: Trigonometria

Trigonometria triangeluez arduratzen den matematika ataletako bat da.

Angeluak neurtzeko unitateak

Angeluak neurtzeko unitate bi daude: batetik radianak zati segundo( rad/s) eta bestetik, graduak minutuak eta segundoak( º /' /)

Arrazoi trigonometrikoak

ABC triangelu angeluzuzena da. A erpinean dagoen $\alpha \,$ angeluari dagozkion sinu, kosinu eta tangente arrazoi trigonometrikoak azaltzeko balio du.

Sinua (laburtuta sin) aurkako katetoaren eta hipotenusaren arteko arrazoia da.

$\operatorname {sin} \, \alpha = \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}} = \frac{a}{c}$

Kosinua (laburtuta cos) ondoko katetoaren eta hipotenusaren arteko arrazoia da.

$\cos\alpha = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} = \frac{b}{c}$

Tangentea (laburtuta tan edo tg) aurkako katetoaren eta ondoko katetoaren arteko arrazoia da.

$\operatorname {tg} \, \alpha = \frac{\overline{CB}}{\overline{AC}} = \frac{a}{b}$

Balioak


Zirkunferentzia radianetan.	Zirkunferentzia Gradu hirurogeitarretan.

Radian	Gradu hirurogeitar	sin	cos	tan	cosec	sec	cotg
$0 \;$	$0^o \,$	$\frac{\sqrt{0}}{2}=0$	$\frac{\sqrt{4}}{2}=1$	$0 \,$	$\not{\exists} \,\!$	$1 \,$	$\not{\exists} \,\!$
$\frac{1}{6}\pi$	$30^o \,$	$\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$2 \,$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$\frac{1}{4}\pi$	$45^o \,$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1 \,$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$	$1 \,$
$\frac{1}{3} \pi$	$60^o \,$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$2 \,$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{1}{2} \pi$	$90^o \,$	$\frac{\sqrt{4}}{2}=1$	$\frac{\sqrt{0}}{2}=0$	$\not{\exists} \,\!$	$1 \,$	$\not{\exists} \,\!$	$0 \,$

Koadranteak

koadranteetan ere badaude angeluak, eta sinua, kosinua eta tangentea aldatzen dira segun zein koadrantetan den.

Eragiketa trigonometrikoak

Pitagorasen teorema

Triangelu zuzenak honako funtzioa betetzen du:

$a^2 + b^2 = c^2 \,$

aurreko ekuaziotik hau ateratzen da:

$\operatorname {sin} \alpha = \frac {a}{c}$

$\cos \alpha = \frac {b}{c}$

$c = 1 \,$

orduan α angelurako, Pitagorasen teorema betetzen da:

$\operatorname {sin}^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \,$

Bi angeluen batuketa eta kenketa

$\operatorname {sin}(\alpha + \beta) = \operatorname {sin} \alpha \cos \beta + \cos \alpha \operatorname {sin} \beta \,$

$\sin (\alpha - \beta) = \operatorname {sin} \alpha \cos \beta - \cos \alpha \operatorname {sin} \beta \,$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \operatorname {sin} \alpha \operatorname {sin} \beta \,$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \operatorname {sin} \alpha \operatorname {sin} \beta \,$

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$

Bi angeluen sinu eta kosinuen batuketa eta kenketa

$\operatorname {sin} \alpha + \operatorname {sin} \beta = 2\ \operatorname {sin} \left( \frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right)$

$\operatorname {sin} \alpha - \operatorname {sin} \beta = 2\ \operatorname {sin} \left( \frac{\alpha - \beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right)$

$\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right)\cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

$\cos \alpha - \cos \beta = -2\ \operatorname {sin} \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) \operatorname {sin} \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

Bi angeluen sinu eta kosinuen biderketa

$\cos(\alpha) \cos(\beta) = \frac{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) }{ 2}$

$\sin(\alpha) \sin(\beta) = \frac{\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) }{ 2}$

$\sin(\alpha) \cos(\beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) }{ 2}$

$\cos(\alpha) \sin(\beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) }{ 2}$

Angelu bikoitza

$\operatorname {sin} 2\alpha = 2 \operatorname {sin}\alpha \cdot \cos \alpha \,\!$

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \operatorname {sin}^2 \alpha \,\!$

$\cos 2\alpha = 1 - 2 \operatorname {sin}^2 \alpha \,\!$

$\cos 2\alpha = -1 + 2 \cos^2 \alpha \,\!$

$\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$

Angeluerdia

$\operatorname {sin}\left(\frac{\alpha}{2} \right) = \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} \,\!$

$\cos \left(\frac{\alpha}{2} \right) = \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} \,\!$

$\tan \left(\frac{\alpha}{2} \right) = \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$

Matematicas

miércoles, 30 de mayo de 2012

Trigonometria