Matematicas: Berreketak

Berreketa bi zenbaki, berrekizuna eta berretzailea, hartzen dituen eragiketa matematikoa da. Honela definitzen da a ber n berreketa, a berrekizuna edozein zenbaki eta n berretzailea zenbaki naturala izanik^[1]:

$a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n$

Adibidez, 2 ber 4:

$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16,$

non 2 berrekizuna eta 4 berretzailea diren.
Berretzailea 1 denean: $a^1=a\,$ .
Berretzailea 2 denean, karratu hitza erabil daiteke ber bi ordez (adibidez, 4², lau karratu edo lau ber bi esan daiteke).
Berretzailea 3 denean, kubo hitza erabil daiteke, ber hiru ordez (adibidez, 4³, lau kubo edo lau ber hiru esan daiteke).

Berrekizun berdina duten berreketen biderkaketak egiten direnean, berretzaileak batu egiten dira:

$a^m \times a^n= a^{m+n}$

Adibidez,

$5^4 \times 5^3= 5^7$

Berreketaren gaineko berreketetan, berriz:

$(a^m)^n = a^{m \times n}$

Berdintza hau ere aipatu behar da:

$(a \times b)^n=a^n \times b^n$

Aipatu behar da berreketen berreketetan, parentesi ezean, berreketak goitik behera egin behar direla lehendabizi:

$a^{b^c}=a^{(b^c)}.$

Hori horrela, berreketak ez du propietate elkarkorra betetzen:

$a^{(b^c)}\ne (a^b)^c$

Azkenik, batuketa eta biderkaketa ez bezala, berreketa ez da trukakorra:

$a^b \ne b^a$

0 berretzailea

Berretzailea 0 denean, berreketaren emaitza 1 da, berrekizun guztietarako:

$a^0=1\,$

Honen arrazoia honela azal daiteke:

$a^1=a\,$

Bestalde, berreketen biderkaketa propietatea erabiliz:

$a^1=a^0 \times a^1= a^0 \times a\,$

Beraz,

$a^0 \times a=a \rightarrow a^0=1$

Berretzaile negatiboak

Berretzaile negatiboetarako honela definitzen da berreketa:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Horrela, propietate hau sortzen da:

$\frac{a^m}{a^n}=a^m \times \frac{1}{a^n}=a^{m-n}$

-1 zenbakiaren berreketak

n bikoitia bada, (-1)ⁿ=1.
n bakoitia bada, (-1)ⁿ=-1.

Berreketaren emaitzaren zeinua aldakorra denez, n bakoitia edo bikoitia den, (-1)ⁿ berreketa zeinu aldakorreko serieak adierazi eta aztertzeko erabiltzen da.

0 zenbakiaren berreketak

Berretzailea positiboa bada, 0ⁿ=0.
Berretzailea negatiboa bada, 0ⁿ adierazpena mugagabea da, 0 zenbakiazko zatiketa egin behar baita.
Berretzailea 0 bada, 0⁰ adierazpenaren emaitza 1 da zenbait alorretan. Beste alor batzuetan mugagabea dela esan daiteke.

Berretzaile handiak

a>1 betetzen bada, aⁿ segida matematikoa infiniturantz doa, n infiniturantz doanean. Hau da, berrekizuna 1 baino handiagoa bada, berretzailea handia denean, emaitzak infiniturantz joko du
a<1 betetzen bada, aⁿ segida matematikoa zerorantz doa, n infiniturantz doanean. Hau da, berrekizuna 1 baino txikiagoa bada, berretzailea handia denean, emaitzak zerorantz joko du.
a=1 betetzen bada, aⁿ=1, n infiniturantz doanean.
Berrekizuna 1 zenbakirantz badoa (1 izan gabe), berretzaileak infiniturantz jotzen duelarik, ezin da baieztatu, arestiko puntuan ezarritakoa dela eta, emaitza 1 izango denik. Adibidez, n infiniturantz doanean, honako segida e zenbakirantz jotzen du:

$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \rightarrow e,\ \ n \rightarrow \infty\ \ \text{doalarik}$

Matematicas

miércoles, 30 de mayo de 2012

Berreketak

0 berretzailea

Berretzaile negatiboak

-1 zenbakiaren berreketak

0 zenbakiaren berreketak

Berretzaile handiak

No hay comentarios:

Publicar un comentario